苏步青的数学故事_中国数学家苏步青的故事

在工程设计中常用试验的手段。但多做试验不仅费钱、费时，使整个设计耗资大而且周期拉得很长，同时对不少尖端科学技术（别是一些与国防有关的科学技术）也不能轻易地进行试验。现在，由于数学方法的介入和电子计算机的使用，人们已可以通过对所研究的问题建立起相应的数学表达形式（称为数学模型），在数学上迸行了比较充分的研究后，在电子计算机上针对各种不同的方案进行数值模拟来代替实际的试验，从而可将需要进行的试验次就减到最少。这充分地显示了数学的威力。国外已经有理论、计算和试验三位一体的提法，将理论分析和数值计算提到和试验同等甚至更为重要的地位，这是很有道理的。在我国原子弹和氢弹的试制过程中，由于充分发挥了理论分析和数值摸拟的作用，造原子弹时所用的试验只占西方国家的十分之一，而从原子弹到氢弹只用了二年零三个月的时间，比西方国家快了很多，就是一个很好的佐证。

数学不仅作为工程技术的一个有力的工具，而现在已直接应用于设计和制造的过程，出现了 CAD（计算机辅助设计）及 CAM（计算机辅助制造）等新的学科，在机械、建筑、航空、造船、汽车甚至服装等行业中已开始得到应用。工程技术人员只需指定几个必需的数据，就可以由电子计算机根据已编制好的计算程序，画出合意的设计图纸，并进行必要的校核，甚至再进一步指挥机器进行加工、生产。可以想象，当这些技术普及推广以后，整个工程技术将会出现怎样一个崭新的面貌啊！

所有这一切，都充分地说明了现在的工程技术已经进入了数理工程技术的新时代。这一时代的重要标志就是数学方法在工程技术中的广泛的极有成效的应用。

除工程技术外，数学在生产管理及国民经济的其他部门中也起着越来越重要的作用。国民经济规划的制定、资源的合理分配、交通运输的有效安排、农产品的大面积估产、天气及海浪的预报等等，都离不开数学。至于数学作为各门科学的重要基础和开发人们智力的重要手段，在提高全民族的思程文化水平，在精神文明建设中的重要作用，就更是无法估量的了。

解决在社会主义建这中提出的各种数学课题，是我国数学工作者的光荣任务，也是广大有文化的劳动者的神圣职责。这些问题的解决，单纯依靠已有的数学方法和工具是远远不够的，还必须在各个数学领域里进行大量的、创造性的理论研究工作；在许多方面，还要求理论工作走程实践工作的前面，更好地发挥理论的指导作用。因此，这些课题将成为我国数学发展的一个动力，而这些课题的解决，无疑地也将成为我国数学接近世界先进水平的一个标志。

三　什么是正确的学习态度

今天我们中学的同学是在相当优越的条件下学习的。有很好的教师，有完备的校舍，有足够的教学设备，比我的中学时代不知好多少倍。别的学科姑且不谈，单就数学这门学科的教学回顾一下当年的中学情况吧。我过去学习的中学是四年制，担任数学课的教师大多是旧制中学毕业生，或学法律、教育的高等院校毕业生，很少有大学或师范院校数学系科毕业的。例如，有一年教我们平面几何的老师是高等师范学校数学系毕业的，但是，不久他就被调到北京去了。看来，我所以把几何定做自己的专门组课，同这位老师的教导是很有关系的。那时候，算术、几何（包括平面几何与立体几何）各学一年，三角、初等代数各学半年，高等代数学一年，用的教本是温德华士编的几何（英文本）的中译本，另外也用过秦汾编的几何和其他一些教本；课外读物连一册也看不到。老师教我们，也不像现在的老师这样认真负责。我还记得，我所在的一班有四十五人，那年考代数的试题里有一题是 x^12- y^12 的因式分解，全班只有我一个人做出来。可见当时教学质量是不高的。其他物质条件更不能同今天相比了。

今天同学们在十分良好的环境里学习，真是莫大的幸福，应该记住，这是中国共产党领导全国人民通过艰苦斗争得来的，是无数革命先烈抛头颅、流鲜血换来的。但是，我们也不能不看到，我国在经济上、文化上还很落后。正是因为这样，我国人民在中国共产党的领导下，有信心，有志气，主要依靠自己的努力，经过长期的斗争，来改变贫穷落后的面貌，逐步把我国建设成为农业现代化、工业现代化、国防现代化和科学技术现代化的强大社会主义国家。这个重大责任落在我们大家的身上，特别是你们年青一代的身上。如前所述，建设社会主义是离不开数学的，所以应该充分利用目前的有利条件，努力学好数学，也要学好其他学科，扎实地打好中学阶段的基础，准备将来同全国人民一起劳动，一起斗争，早日将我国建成一个具有四个现代化的社会主义强国，为人类作出更大的贡献。

要学好数学，应该采取什么样的学习态度呢？我想提出如下的三点意见。

第一，要为社会主义发挥学习的积极性。在中学里努力学习，将来争取升学，这样做是不是为个人打算呢？升学是为取得更进一步学习的机会，学到更好的本领，将来更好地为国家和人民服务。但是，高等学校入学人数根据国家建设需要来规定，不可能而且也不应该招收全部中学毕业生。如果招收全部毕业生，工厂和农村的劳动力又从何而来呢？所以中学毕业生中能够升入高等学校学习的目前还只能是少数，而大部分都要直接参加生产劳动。那么，是不是由于自己不一定能升学就认为不能实现自己的“理想”，从而就学得马马虎虎呢？这当然就不对了。任何人总有一个理想，只不过理想有伟大和渺小之差罢了。如果学习的动机只是为了个人将来成名成家，那么这种理想未免太渺小了。要为人类的进步、祖国的繁荣富强而奋斗，为实现四个现代化而奋斗，这才是伟大的理想。要使这个理想能够实现，不致成为空想，我们就要关心政治、关心集体、遵守纪律、参加劳动、为社会主义奋发学习。我们说，要有全面发展的观点，重要意义就在这里。我们在中学里把数学学得更好些，对毕业后直接参加生产劳动或升入高等学校进一步学习都会有很大帮助；只要注意我们学好数学的目的不仅仅是为了升学，也是为了能够把数学更好地应用到社会主义建设中去。能升学的同学，将来高等学校毕业后还是同样为社会主义建设服务，同不升学的同学稍有不同之处是在时间上相差几年，在业务分工上可能有所不同，如此而已。有的同学认为，如果将来不能升学，就低人一等，因而“发奋”学习，目的只是为了升学；有的同学认为，反正将来没有希望升学，不升学，数学好象没有多大用处，就马马虎虎学习数学；有的同学虽然在道理上也懂得在我国社会主义建设中，需要大量的知识青年，中学里学到的数学知识在工农业生产中也大有用处，但是学习中怕艰苦，不肯钻研；等等。这些看法和态度都是不正确的。正确的看法和态度应该是，大家更好地发挥学习数学的积极性，毕业后不论升学或者参加工作，都要使数学这门学科的知识在祖国社会主义建设事业中发挥最大的作用。

第二，既要争取指导，又要进行独立思考。对中学同学说来，最能了解你们学习数学的情况的，了解你们现阶段数学程度的，可能再也没有人能比得过你们的数学老师了。因此，同学们要多向老师请教，争取老师的教导, 要按照老师的要求进行学习。如果有人问我过去怎样学习数学的话，我回答三句话：一、听从老师的教导，学好数学，也学好其他学科；二、刻苦钻研，迅速养成独立思考能力；三、坚持下来、风雨无阻。要听从老师的教导，这并不排斥同学在学习中发挥主观能动性，只是说，不要不恰当地发挥“主观能动性”甚至把自己抬高到比老师还要“内行”的程度，错误地解释“一代好过一代”，“青出于蓝而胜于蓝”。只有今天接受老师的教导，将来才可以而且也必须超过老师。即使能够做到这一点，那也是将来的事，并且也不可能一下子在所有方面都胜过老师。我经常同大学里数学系的同学和青年教师谈起：“你们既要解放思想，破除‘老师万能’的想法，又要认真的向老师学习尚未学到家的某些知识和经验，来提高自己的业务水平，譬如我读外文书的能力，你们就不是一年、两年可以学到的。千万不要一脚把我踢开。”这段话，我自认为是很诚恳的。所以同学们必须尊敬老师，对老师要有礼貌，不要评头品足。我们要把自己的学校看成是最好的学校，自己的老师看成是最好的老师。只有这样，才能虚心学习，才能虚心向老师请教，也才能真正学得到东西，才能一代胜过一代。个别新老师的教学方法不能完全令人满意，总是难免的。这也是教育事业迅速发展中的暂时现象。只要同学们养成善于思考、善于抓住中心的习惯，做好预习和复习，把时间更好地、更合理地利用起来，把上课和做作业很好地配合起来，这样也就可以把知识、技能学好。古语说：“名师出高徒。”名师当然要出高徒，天下没有不出高徒的名师，否则就不成为名师。可是反过来也应该看到，高徒并不是个个都从名师那里出来的。重要的在于自己的主观努力。虚心使人进步，骄傲使人落后。我们必须牢牢记住这句话。

独立思考能力的培养，中学阶段起着重要的作用。同学们在学习中好比一个小孩走路，开始总要大人扶着走。但随着孩子的成长，大人要放放手，让他试着走，这时孩子也有这样的要求，因此他即使摔了跤，也还是要继续试。“吃一堑，长一智”，通过多次尝试，孩子终于可以独立行走了。学习开始，老师对同学总是多扶一把，教的知识具体细致，但随着同学学习能力的提高，老师就要逐步少扶一点，而要求同学们自己多动一些脑筋、多考虑些问题。只有通过自己思考，才能使获得的知识更加巩固。所以同学们在学过的知识范围内，遇到不懂或难懂的地方，首先自己想想看，做做看，想不出，做不出的时候，再请教老师。这样就可以逐步养成独立思考问题、独立工作的习惯。这种习惯对今后工作，学习将带来无限的好处。譬如我在当研究生的时候，有一次，在研究几何问题上遇到一些从前没有学过的解析几何知识，我去请教老师，老师要我去查沙尔门、菲德拉的解析几何。这书一共有三厚本，又是用德文写的，那时候我读起来也很吃力，但只好去啃它。当时也埋怨过老师不来教我。但是当我读完那三大本以后，不但解决了我的研究问题，同时还得到一生用不完的基础知识，对以后的研究工作起了很大的作用。我用这个例子，不是要中学同学都去钻自己没有学过的知识，而是希望同学们养成独立思考问题的习惯，要善于用脑子。像你们做的作业，一般通过自己思考都是能够解决的。但有的同学就怕动脑筋，稍有疑难就问别人，结果自己真正得到的极少，更大的损失是自己没有学会一套学习和工作的方法。

总之, 我们既要尊敬老师，听老师指导，从老师那里学到自己不懂的知识，又要善于培养自己思考问题、学习抓住中心的习惯和能力。两者必须结合起来，不可偏废，只有这样我们才能够学习得更好，进步得更快。

第三，要正视困难，刻苦钻研。学习数学和学习其他学科一样，只要注意打好基础、争取指导，同时发挥独立思考作用，总是能够比较顺利地前进的。但是，这不等于说没有困难。学习前人传下来的知识，要掌握和运用这些知识，并且使之发展扩大，进一步广泛地应用于实际，来为社会主义服务，这个过程肯定地是错综复杂、万分艰巨、不可能没有困难的。同学们必须用奋发图强的精神对待困难。一方面，我们要在战略上藐视困难，要立壮志，攀高峰；另一方面要在战术上重视困难，要充分估计可能遇到的各种各样的困难，事前作好准备，以免在遇到困难时惊慌失措。

我们学习知识有两种情况，一是学习前人传下来的书本上的知识，对于这类知识只要多看、多想、多实践，一定能够掌握它。由于各人的理解能力有差别，遇到的困难也会有所不同，但是，归根到底，这类知识是完全能够为我们所掌握和运用的。在中学里学习的数学，可以说全部属于这一类。总的说来，今天同学们在中学里毕竟还处于“打基础”的时期，在学习中碰到的困难，当然不会太大，可是困难也是存在的。有了困难，就应该去克服它。另一种情况是学习正在发展中的、尚未达到十全十美的知识。对于这类知识的学习，情况就不完全相同了。除了要通过刻苦钻研才能理解以外，不同于前一种情况的在于：坚持钻研的结果，不仅能够把已经明确的那一部分搞清楚，而且还可以把问题向前推进一步，这就是科学研究——创造性的工作。同学们将来会遇到这些问题的，这里就不多谈了。

总之，在学习数学的过程中，我们既不要害怕困难，也不要把学习看做平坦的、一帆风顺的过程。正确的态度是：既要有正视困难的勇气，又要有克服困难的毅力。只有这样，我们才能把功课学好。

四　学好数学的方法

数学具有高度抽象性，而应用却十分广泛。怎样学好数学，并且使它能够为我们所掌握运用，自然不是那么轻而易举的事情。如大家所知，在小学里学习算术，主要是结合具体事例，从实际课题出发，达到能够正确而迅速地运算和能够直观地认识一些简单的平面图形、立体图形的要求。进入中学以后，要在小学算术的基础上对数量关系的知识作进一步的学习，要对空间形式的知识作系统的学习，并且要对形与数相结合的知识进行学习。所以在中学阶段里，特别是高中阶段里学习数学的任务是比较繁重的，也是非常重要的。数学学得好坏，不仅关系着今天能不能学好其他学科如物理、化学等，而且更重要的是关系着毕业后能不能解决生产实践中将遇到的实际问题，也关系着今后在攀登科学高峰的道路上能不能接近和赶上世界先进水平。因此，在中学阶段打好数学的基础，对于把我国建设成为农业现代化、工业现代化、国防现代化和科学技术现代化的强大社会主义国家有重大的意义。

在中学的数学课本里，一些基本的概念是逐步地被引导进来的，要把基本的概念了解清楚，可以说是学好数学的第一个步骤。如果概念还没有理解清楚，就急急忙忙地去证明定理、做习题，那是没有不碰壁的。有些同学在课堂里听了老师的讲课以后，回到家里就拿起笔来做习题，这时大概对以下两类习题的演算不大会感到困难：一类是用到的基本概念已经正确理解了的习题。由于正确理解了概念，解答所配的习题就比较容易，而通过习题的演算反过来还可以进一步明确概念以及从概念导出来的结论——定理。另一类是同课堂里老师做给大家看过的例题类似的习题。对这类只要“依样画葫芦”的习题，即使基本的概念还没有理解清楚，也可以做出来，但是如果遇到习题稍有更改，就会感到无从下手。像这种看来似乎能演算而实际是“描红”的情况，在今天的中学生里并不是罕见的。不少同学对数学竞赛的试题感到困难，原因不是别的，就是从来没有见过这类题目。

正确地理解数学的基本概念之所以重要，是因为它是掌握数学基础知识的前提。犹如造房屋那样，基础打得牢靠些，将来在它的上面造起来的房屋就不会坍毁。因此，正确理解基本概念的好处不仅仅在于能解出几个习题。打基础的唯一方法是不厌其烦地反复学习；既不要以为基本的概念很抽象，不易理解，就干脆把它放过去，又不要以为它很容易懂而不去深入理解。在高中学习的有些数学内容，由于以前在初中里学过一点，往往就容易忽视它的重要性。没看到，这些内容外表上好象同初中阶段学过的有些内容是重复的，而实际上却是螺旋式上升的。从有理数的加法发展为整式、分式的加法，又发展为函数的加法，后来在物理学里发展为力、速度（矢量）的加法，这是一个具体的例子。不要怕做这些课程的计算题，不要不耐烦。凡是基础的东西总不免有些单调，缺乏变化，容易使人感到厌倦，以致产生“现在不去重视它, 也没有什么关系”的不正确想法。事实恰恰相反，今天基础打得不好，明天就会发现缺陷。我在 1924 年当学生的时候，曾经做过一万道微积分的题目。我为什么要做这样多的题目呢？当时我是这样想的：要真正学到手，只学一遍恐怕太少，一定的重复是很有必要的。有的人念书，念一遍就够了，我自己往往不是那么快。怎么办呢？那就多看、多念、多想，一直到把它弄懂为止。我过去念一本书或阅读一本论著，从来没有念一遍就让它过去的。要么不念，要念就念个透，一次、两次、多到五次、六次，每次念的时候总觉得比前一次有新的体会。这里可以看出，平常所谓“懂了”，中间还有深浅之分，甚至有“真懂”与“假懂”之分。我们对怎样才算学好了、真懂了，要有一个高的标准。多一分耕耘，就多一分收获。我们要把基础知识扎扎实实地学到手，就要舍得下功夫。我念外文总是念懂了才译出来。我念过的书都有笔记，并且注明某月某日看的。这些笔记我都保存着，有的笔记现在还常常用到。由于念的次数多，又通过手、脑的劳动，所以印象是深刻的。有时学生来问我什么问题，我往往可以讲出来有关这个问题的答案在哪一本书、哪一卷、哪一页里，并且还可以从书架的某一处立刻拿出来。我不相信,人的脑力有那么厉害，学了一遍，做了很少习题，很少甚至没有一点实际形象化的东西，就会都理解透了，巩固了，一辈子也不会走样了。求学问，从不知到知，从没有印象到有印象，而且还要“印”得正确，“印”得清楚，决不是轻而易举的，一定要经过艰巨的劳动，通过多次反复的钻研和练习，才能达到这样的境界。学习数学，宁可多化一些时间，学得精一些、深一些、透一些、学到的知识也就扎实些、牢靠些，“有备无患或少患”，“以防万一”。对学习中的困难要有足够的估计，多作一些准备，不要贪眼前的快，学得太多、太粗，而长期下去将造成一生的慢。

科学研究，首先是“实事求是、循序前进”，然后在这个基础上才能“齐头并进、迎头赶上”。没有基础，就没有得以进一步飞跃的土壤，那怎么能够开花结果呢？

这样说，并不反对同学们在完成自己的作业的前提下阅读课外读物；不但不反对，而且还要鼓励。只是要注意，即使在这种情况下也不要贪多冒进，囫囵吞枣，食而不化。想看这本课外读物，又想找另一本，这容易引起阅读不精，概念模糊，思路混乱等毛病。原来想看一点课外读物来帮助提高业务水平，而结果可能恰恰相反。所以我们大学里担任一年级教学的老师经常说：“补基础，炒夹生饭，不好办。”从这一点看来，我从前在中学里念书时看不到一本数学课外读物，或许倒是一件好事！我希望成绩比较优秀的同学，在可能的条件下选定一本程度恰当的数学书着，精读细算，踏踏实实做好、做完习题，然后考虑第二本。在阅读课外读物的时候，要练手——多做习题，又要练脑——多加思索。因为, 要认识数学里的基本概念和推导得来的定理，必须经过实际演算，否则也就不可能获得念好这本书的经验；但是，如果念了书、做了习题不想一想，只满足于做过算数，这同样也不可能积累经验，提高认识和掌握数学的本质。要学好数学，要善于使用思想器官，必须提倡思索，学会分析事物的方法，养成分析的习惯。数学，特别是高等数学，包括越来越多的抽象概念，尽管对一个一个的概念一读就觉得“懂了”，如果对概念的发展以及概念之间的联系不加思萦和分析，往往在念完一本书或学完一门分支，回顾一下，会觉得局部是“明了”的，可是整体上不大懂，甚至莫名其妙。这样，将来把这分支的知识应用到另一理论上或建设事业的实际问题中，就会发生毛病了。总之，要学好数学，方法不外是打好基础、多做习题、多加思索和分析等。学习数学除了书本知识以外，还需要同实际联系，也只有这样，才能生根壮大，发挥作用。限于篇幅，这里不详谈了。

作者附语：本篇原本，特别是第二部分经过李大潜教授的大力修改才得到一些提高。于此特向李大潜教授致谢。

1988 年 6 月　苏步青

来源：数学集(MathSets)

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